Question

Найти сумму целых решений уравнения
${( {x}^{2} - 8x + 18) }^{2} - 8( {x}^{2} - 8x + 18) + 18 = x$

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

если сделать замену: х²-8х+18=t, то можно увидеть, что левая часть примет вид: t²-8t+18

то есть структура левой части не поменялась, поэтому данное уравнение относится к виду:

$f(f(x))=x$

Для решения таких уравнений, есть теорема:

Уравнение f(f(x))=x, имеет такие же корни, что и уравнение f(x)=x

поэтому решим сначала уравнение:

$x^2-8x+18=x \ x^2-9x+18=0 \ \ x_1=3 \ x_2=6$

Теперь раскроем скобки исходного уравнения:

$(x^2-8x+18)^2-8(x^2-8x+18)+18=x \ (x^2-8x+18)(x^2-8x+18)-8x^2+64x-144+18=x \ x^4-8x^3+18x^2-8x^3+64x^2-144x+18x^2-144x+324-8x^2+\+63x-144+18=0 \ \ x^4-16x^3+92x^2-225x+198=0$

и разделим столбиком на:

$(x-3)(x-6)=x^2-6x-3x+18=x^2-9x+18$

(см. рисунок)

получается

$x^2-7x+11=0 \ \ D=49-44=5 \ \ x_{3,4}=frac{7^+_-sqrt{5}}{2}$

Таким образом, корни уравнения:

$(x^2-8x+18)^2-8(x^2-8x+18)+18=x$

равны

$x_1=3 \ x_2=6 \ x_3=frac{7-sqrt{5}}{2} \ x_4=frac{7+sqrt{5}}{2}$

Сумма целых решений:

3+6=9

Ответ: 9