Question

(x^2−x+1)^4−5x^2(x^2−x+1)^2+4x^4=0.

Answer 1

Обозначим $(x^2-x+1)^2=u$, $x^2=v$:
$u^2-5uv+4v^2=0$

Раскладываем на множители:
$u^2-5uv+4v^2=u^2-uv-4uv+4v^2=u(u-v)-4v(u-v)=(u-4v)(u-v)$

Заменяем обратно u и v и раскладываем на множители первый множитель:
$(x^2-x+1)^2-4x^2=(x^2-x+1)^2-(2x)^2=(x^2-x+1-2x)times\times(x^2-x+1+2x)=(x^2-3x+1)(x^2+x+1)$

Разбираемся со вторым множителем:
$(x^2-x+1)^2-x^2=(x^2-x+1-x)(x^2-x+1+x)=\=(x^2-2x+1)(x^2+1)=(x-1)^2(x^2+1)$

Собираем вместе:
$(x^2-3x+1)(x^2+x+1)(x-1)^2(x^2+1)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Вторая и четвёртая скобка не обращается в 0 ни при каких x, третья при x = 1, первая:
$x^2-3x+1=0\D=9-4=5\x=dfrac{3pmsqrt5}2$

Ответ: $x=1$, $x=dfrac{3pmsqrt5}2$

Answer 2

(x²-x+1)⁴-5x²(x²-x+1)²+4x⁴=0
разделим обе части на x⁴≠0 (это сделать можно, потому что х=0 не является решением данного уравнения,
что можно проверить подстановкой)

получаем
[(x²-x+1)/х]⁴-5[(x²-x+1)/х]²+4=0

делаем замену
(x²-x+1)/х=у
тогда у⁴-5у²+4=0
(у²-4)(у²-1)=0
у1,2=±2
у3,4=±1

(x²-x+1)/х=у, поэтому
имеем 4 квадратных уравнения

(1) x²-x+1=2х
x²-3x+1=0
х1,2=(3±√5)/2

(2) x²-x+1=-2х
x²+x+1=0
D=1²-4•1•1= -3<0
это уравнение
действительных решений не имеет

(3) х²-х+1=х
x²-2x+1=0
(x-1)²=0
x3=1

(4) х²-х+1=-х
х²+1=0
x²=-1
это уравнение
действительных решений не имеет

Ответ:
х1,2=(3±√5)/2
x3=1