Question

В опуклому чотирикутнику ABCD діагоналі AC і BD взаємно перпендикулярні.Доведіть,що AB^2+DC^2=AD^2+BC^2.

Answer 1

Диагонали АС и ВД пересекаются в точке О, разбивая заданный четырёхугольник на четыре прямоугольных треугольника: АВО; ВСО; ДСО и АДО.

Используем теорему Пифагора для каждого треугольника.

ΔАВО: АВ² = АО²+ВО²

ΔДСО: ДС² = СО² + ДО²

Сложим эти выражения АВ² + ДС² = АО² + ВО² + СО² + ДО² (1)

Теперь рассмотрим два других треугольника

ΔВСО: ВС² = ВО² + СО²

ΔАДО: АД² = АО² + ДО²

Сложим эти выражения

ВС² + АД² = АО² + ВО² + СО² + ДО² (2)

Правые части выражений (1) и (2) равны, следовательно, равны и левые части: АВ² + ДС² = ВС² + АД², что и требовалось доказать