Question

ВНИМАНИЕ!!!
Сколько существует натуральных чисел n таких, что [n/2] + [n/3] = n - 2?Задача сложная.

Answer 1

Число n может при делении на 2 давать остатки 0 или 1.
[n/2] = n/2 или (n-1)/2
При делении на 3 оно может давать остатки 0, 1 или 2.
[n/3] = n/3 или (n-1)/3 или (n-2)/3
Получаем 6 уравнений в разных комбинациях.
1) n/2 + n/3 = n - 2
Умножаем все на 6
3n + 2n = 6n - 12
n = 12
2) n/2 + (n-1)/3 = n - 2; n = 10
3) n/2 + (n-2)/3 = n - 2; n = 8
4) (n-1)/2 + n/3 = n - 2; n = 9
5) (n-1)/2 + (n-1)/3 = n - 2; n = 7
6) (n-1)/2 + (n-2)/3 = n - 2; n = 5
Других решениий нет.
Ответ 6 решений

Answer 2

все натуральные числа можно разбить на 6 групп:

1) n = 6k

$left[begin{array}{c}6k\-\2end{array}right] =3k\\ left[begin{array}{c}6k\-\3end{array}right] =2k$

3k + 2k = 6k - 2

k = 2

n = 12 - первое число

2) n = 6k + 1

$left[begin{array}{c}6k+1\-\2end{array}right] =3k\\ left[begin{array}{c}6k+1\-\3end{array}right] =2k$

3k + 2k = 6k - 1

k = 1

n = 7 - второе число

3) n = 6k + 2

$left[begin{array}{c}6k+2\-\2end{array}right] =3k+1\\ left[begin{array}{c}6k+2\-\3end{array}right] =2k$

3k + 1 + 2k = 6k

k = 1

n = 8 - третье число

4) n = 6k + 3

$left[begin{array}{c}6k+3\-\2end{array}right] =3k+1\\ left[begin{array}{c}6k+3\-\3end{array}right] =2k+1$

3k + 1 + 2k + 1 = 6k + 1

k = 1

n = 9 - четвертое число

5) n = 6k + 4

$left[begin{array}{c}6k+4\-\2end{array}right] =3k+2\\ left[begin{array}{c}6k+4\-\3end{array}right] =2k+1$

3k + 2 + 2k + 1 = 6k + 2

k = 1

n = 10 - пятое число

6) n = 6k + 5

$left[begin{array}{c}6k+5\-\2end{array}right] =3k+2\\ left[begin{array}{c}6k+5\-\3end{array}right] =2k+1$

3k + 2 + 2k + 1 = 6k + 3

k = 0

n = 5 - шестое число

Итого 6 чисел

Ответ: 6