Question

Помогите решить универсальной подстановкой
sin4x+5cos4x=-5

Answer 1

Формулы универсальной тригонометрической подстановки:

$sinx=dfrac{2tgdfrac{x}{2}}{1+tg^2dfrac{x}{2}} cosx=dfrac{1-tg^2dfrac{x}{2}}{1+tg^2dfrac{x}{2}}$

Решаем

$sin4x+5cos4x=-5\ \ dfrac{2tg2x}{1+tg^22x}+ dfrac{5-5tg^22x}{1+tg^22x}=-5\ \ 2tg2x+5-5tg^22x=-5(1+tg^22x)\ 2tg2x=-10\ tg2x=-5\ 2x=arctg(-5)+pi k\ x=-dfrac{arctg(5)}{2}+dfrac{pi k}{2}$

Также, при универсальной тригонометрической подстановке необходимо проверять, не является ли x=π+2πk решением

$4x=pi + 2 pi k Rightarrow x=dfrac{pi}{4}+ dfrac{pi k}{2} \ sin(4cdotdfrac{pi}{4})+5cos(4cdotdfrac{pi}{4})= 0-5=-5$

Ответ: $x=left[begin{array}{I} -dfrac{arctg(5)}{2}+dfrac{pi k}{2} \ dfrac{pi}{4}+dfrac{pi k}{2} end{array}} ; k in Z$