Question

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0.0001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.

$intlimits^ 1_0 e^{(-2)x^6} , dx$

Answer 1

$e^{x}=1+x+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+frac{x^4}{4!}+...$

$e^{-2x^6}=1+(-2x^6)+frac{(-2x^6)^2}{2!}+frac{(-2x^6)^3}{3!}+frac{(-2x^6)^4}{4!}+frac{(-2x^6)^5}{5!}+frac{(-2x^6)^6}{6!}+...$

Получили знакочередующийся ряд и это хорошо, так как легко оценить погрешность. Остаток значкочередующегося ряда по модулю не превосходит первого отброшенного слагаемого.

$intlimits^1_0 {e^{-2x^6}dx=intlimits^1_0(1+(-2x^6)+frac{(-2x^6)^2}{2!}+frac{(-2x^6)^3}{3!}+frac{(-2x^6)^4}{4!}+frac{(-2x^6)^5}{5!}+frac{(-2x^6)^6}{6!}+...} , )dx =$

$=(x-2frac{x^7}{7}+2frac{x^{13}}{13} -frac{4x^{19}}{57}+frac{2x^{25}}{75} -frac{32x^{31}}{(5!cdot 31}+frac{64x^{37}}{(6! cdot 37)}+ ...)|^1_{0}=1-frac{2}{7}+ frac{2}{13} - frac{4}{57}+frac{2}{75} - frac{4}{465}+frac{2}{1665}+...$≈

≈1-0,285714286+0,153846154-0,070174386+0,0266660+0,00860215054-0,0012012012=0,823423136

При этом погрешность не превышает по модулю следующего за 0,0012012012 числа, которое будет явно меньше 0.001

Чтобы вычислить с точностью 0,0001 надо взять еще несколько слагаемых.