Question

Олимпиадная задача за 2017 год.
$cos(10^{n})$ при n=0, 1, 2,..., 2016, 2017.
Вопрос: Сколько отрицательных чисел будет в данной последовательности.

Answer 1

$cos(10^n)^circ$

Необходимо воспользоваться тем фактом, что основной период косинуса равен 360°.

Рассмотрим выражение $cos(10^n)^circ$:

$(10^n)^circ=100...0000^circ=99...9000^circ+1000^circ$

Заметим, что первое слагаемое можно представить как произведение некоторого числа k на 360°:

$99...9000^circ+1000^circ=277...75cdot360^circ+1000^circ=kcdot 360^circ+1000^circ$

Рассмотрим косинус данного аргумента, учитывая периодичность:

$cos(10^n)^circ=cos(kcdot 360^circ+1000^circ)=cos1000^circ= \ =cos(3cdot360^circ-80^circ)=cos(-80^circ)=cos80^circ>0$

Выражение свелось к косинусу угла первой четверти, который является положительным.

Однако, нужно учесть, что в решении мы предположили, что значение выражения $(10^circ)^n$ является хотя бы четырехзначным (на шаге представления $(10^circ)^n=99...9000^circ+1000^circ$). Значит, начальные значения косинуса необходимо просчитать дополнительно:

$cos(10^0)^circ=cos1^circ>0$ - косинус угла первой четверти положителен

$cos(10^1)^circ=cos10^circ>0$ - косинус угла первой четверти положителен

$cos(10^2)^circ=cos100^circ<0$ - косинус угла второй четверти отрицателен

$cos(10^3)^circ=cos1000^circ$ - значение подходит под рассмотренный алгоритм (в данном случае слагаемое $99...9000^circ$ содержит нулевое число девяток). Это и последующие значения последовательности положительны

Таким образом, отрицательное число получается только при n=2

Ответ: 1