Найдите угол между плоскостью MKL и прямой MB в правильной четырехугольной пирамиде, все ребра которой равны (см. рисунок)
P. S. Поподробнее
Ответы
Пусть A - начало координат
Ось X - AB
Ось Y - AD
Ось Z - вверх от ABC в сторону M
Пусть Все ребра единичные.
O- Центр пересечения диагоналей ABCD
Из Треугольника AOM -
AO = MO = √2/2
Координаты точек
M (0,5 ; 0,5 ;√2/2)
K (0,5 ; 0 ; 0)
L (0 ; 0.5 ; 0 )
Вектор MB ( 0,5 ; -0,5 ; - √2/2)
Уравнение плоскости MKL
ax+by+cz+d=0
Подставляем координаты принадлежащих плоскости точек
0,5 a + 0,5 b + √2/2 c + d =0
0,5 a + d =0
0,5 b + d = 0
Пусть d = -1 Тогда a =2 b =2 c= - √2
Уравнение
2x+2y-√2z-1 =0
Нормаль n(2; 2; -√2)
Cинус искомого Угла
| n * MB | / | n | / | MB | = | 1 - 1 + 1 | / √(4+4+2) / √{1/4+1/4+1/2) = 1 / √10
Искомый угол - <ВМP. ВP=OH - расстояние от прямой BD до плоскости MKL (высота из прямого угла MOQ). Тогда PM - проекция BM на плоскость MKL. МO=BO = a√2/2. OQ=a√2/4. MQ=√(2a²/4+2a²/16) = a√10/4. ОН=BP=MO*OQ/MQ = a/√10.
Sinα = BP/BM = (a/√10)/a = 1/√10
Или подробнее:
Точки В и О лежат на прямой, включающей в себя диагональ BD квадрата АВСD. Плоскость KML включает в себя равнобедренный треугольник KML, высота которого МQ лежит на линии пересечения взаимно перпендикулярных плоскостей KML и AMC (диагонали квадрата АВСD взаимно перпендикулярны). Расстояние от точки О до плоскости MKL это перпендмкуляр ОН к прямой MQ, то есть это высота из прямого угла треугольника OMQ. Заметим, что треугольник МОВ - равнобедренный (BD=a√2, BO=a√2/2, а так как все ребра пирамиды равны, то в треугольнике ВОМ катет МО=a√2/2). МO=BO =a√2/2. OQ=a√2/4 (половина и четверть диагонали квадрата - основания пирамиды соответственно). Тогда по Пифагору MQ=√(2a²/4+2a²/16)= a√10/4.
По свойству высоты из прямого угла имеем: ОН=MO*OQ/MQ = a/√10.
Проведем через точку Н прямую "а" параллельно диагонали BD (и, соответственно, прямой KL) и опустим перпендикуляр ВР на эту прямую. ВР=ОН, так как ВРНО - прямоугольник (<HOB=<HPB=90°). Проведем прямую MP. Эта прямая лежит в плоскости, включающей в себя треугольник MKL, так как прямая РН и точка М принадлежат этой плоскости. Значит она является проекцией наклонной МВ на эту плоскость (ВР=ОН - перпендикуляры к этой плоскости). Искомый угол между прямой МВ и плоскостью, включающей в себя треугольник MKL, это угол BMP между наклонной МВ и ее проекцией МР на эту плоскость.
Sinα = BP/BM = (a/√10)/a =1/√10 ≈ 0,316.
α = arcsin(0,316) ≈ 18,4° Это ответ.
