Question

Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает 1. Найти вероятность того, что сумма х+у будет не больше 1, а произведение xу не меньше 0.09

Answer 1

Эта задача на геометрическую вероятность....

Найдем для начала площадь заштрихованной фигуры:

$sf S=displaystyle intlimits^{0.9}_{0.1}{bigg(1-x-frac{0.09}{x}bigg)} , dx=bigg(x-frac{x^2}{2}-0.09ln xbigg)bigg|^{0.9}_{0.1}=0.9-frac{0.81}{2}-\ \ -0.09ln0.9-0.1+frac{0.01}{2}+0.09ln 0.1=0.8-0.4+0.09lnfrac{0.1}{0.9}=\ \ =0.4+0.09cdot(-2)cdot ln 3=0.4-0.18ln 3$

Вероятность того, что сумма х+у будет не больше 1, а произведение ху не меньше 0,09, равна:

$sf displaystyle P=frac{S}{Lleft([0;1]times [0;1]right)}=frac{0.4-0.18ln 3}{1}=0.4-0.18ln 3approx 0.2$