Question

Доказать, что
$lim_{x to +infty}frac{log_{a}x}{x^E}$=0
$a textgreater 1,E textgreater 0$

Answer 1

Для начала рассмотрим предел: $displaystyle sf lim_{n to infty} frac{n^k}{a^n}$, когда a>1

Пусть есть $sf min mathbb{Z}$ и $sf mgeqslant k$. Тогда

$sf displaystyle 0<frac{n^k}{a^n}<frac{n^m}{a^n}=left(frac{n}{sqrt[sf m]{sf a^n}}right)^n=left(frac{n}{b^n}right)^m$

Где b замена на $sf sqrt[sf m]{sf a}>1$. Но, представив b = 1 + b-1 и разложив по формуле Бинома:

$sf 0<dfrac{n}{b^n}=dfrac{n}{(1+b-1)^n}=dfrac{n}{1+n(b-1)+frac{n(n-1)}{2}(b-1)^2+...+(b-k)^k}<\ \ \ <dfrac{2n}{n(n-1)(b-1)^2}to 0,~~nto infty$

Значит, по теореме о предельном переходе в произведении, получим что предел $sf displaystyle lim_{n to infty}left(frac{n}{b^n}right)^m=0$. Тогда

$sf dfrac{1}{b^n}<dfrac{n}{b^n}<1$ при большом n. Введём замену $tt b=a^{varepsilon}$, где a>1 и $varepsilon$ - положительное и произвольное. Тогда

$sf dfrac{1}{a^{varepsilon n}}<dfrac{n}{a^{varepsilon n}}<1~~~Rightarrow~~~ 1<n<a^{varepsilon n}$

Прологарифмировав, получим:

$sf displaystyle 0<log_an<varepsilon n~~~Rightarrow~~~~ boxed{sf 0<frac{log_an}{n}<varepsilon}$ при большом n. Следовательно,

$sf displaystyle lim_{n to infty}frac{log_an}{n}=0,~~ a>1$

**********************************************************************************

Теперь осталось доказать, что $sf displaystyle lim_{x to infty}frac{log_ax}{x^{varepsilon}}=0$, когда a>1 и $varepsilon >0$

Пусть $sf displaystyle x^{varepsilon}=t$, тогда $sf displaystyle lim_{t to infty}frac{log_at}{varepsilon t}$

Ранее мы показали, что $displaystyle sf lim_{n to infty}frac{log_an}{n}=0$, значит $sf displaystyle lim_{n to infty}frac{log_a(n+1)}{n}=0$

Пусть $sf varepsilon'$ - положительное и произвольное. Тогда

$displaystyle sfexists Ninmathbb{N},~n>N~|~~0<frac{log_a(n+1)}{n}<varepsilon'$

И возьмем $sf n=[t]$ для $sf t>N+1$. Тогда

$sf displaystyle 0<frac{log_at}{t}<frac{log_a(t+1)}{n}<varepsilon'~~~Rightarrow lim_{t to infty}frac{log_at}{t}=0$

а значит и $displaystyle sf lim_{x to infty}frac{log_ax}{x^{varepsilon}}=0$

Answer 2

круто.