Question

Найти предел) Без Лопиталей.
$lim_{x to +infty}lnfrac{x+sqrt{x^2+1} }{x+sqrt{x^2-1} }*ln^{-2} frac{x+1}{x-1}$

Answer 1

Во первых очевидно, что

$limlimits_{xto infty}frac{x+sqrt{x^2+1}}{x+sqrt{x^2-1}} =1\limlimits_{xto infty}frac{x+1}{x-1} =1$

Поэтому, при $x to infty$

$ln(frac{x+sqrt{x^2+1}}{x+sqrt{x^2-1}})=ln(1+(frac{x+sqrt{x^2+1}}{x+sqrt{x^2-1}}-1)) sim frac{x+sqrt{x^2+1}}{x+sqrt{x^2-1}}-1=frac{sqrt{x^2+1}-sqrt{x^2-1}}{x+sqrt{x^2-1}} \ln^2frac{x+1}{x-1} =ln^2(1+(frac{x+1}{x-1}-1)) sim (frac{x+1}{x-1}-1)^2=frac{4}{(x-1)^2}$

Перепишем исходный предел, использовав эти эквивалентности:

$=limlimits_{xto infty}frac{(sqrt{x^2+1}-sqrt{x^2-1})(x-1)^2}{4(x+sqrt{x^2+1})} =frac{1}{4} limlimits_{xto infty}frac{x^2(sqrt{x^2+1}-sqrt{x^2-1})}{x+sqrt{x^2+1}}=\ =frac{1}{2} limlimits_{xto infty}frac{x^2}{(x+sqrt{x^2+1})(sqrt{x^2+1}+sqrt{x^2-1})} =frac{1}{2} limlimits_{xto infty}frac{x^2}{xsqrt{x^2+1}+x^2+1+xsqrt{x^2-1}+sqrt{x^4-1}} =$

$=frac{1}{2} limlimits_{xto infty}frac{1}{sqrt{1+frac{1}{x^2}}+1+frac{1}{x^2}+sqrt{1-frac{1}{x^2}}+sqrt{1-frac{1}{x^4}}}=frac{1}{2} *frac{1}{4} =frac{1}{8}$

Answer 2

эквивалентность функции при х стремящихся к 0 а не к бесконечности!

Answer 3

эта хрень под логарифмами стремится к 1 при x->oo, а когда вычитаем из этих дробей 1 как раз получаем функции стремящиеся к нулю и можно применить эквивалентности