Question

Найти производную функции тангенса y=tgx по определению

Answer 1

По определению, производная есть предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, при условии стремления этого приращения аргумента к нулю.

$f'(x)=limlimits_{Delta xto 0}} dfrac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}$

Для функции тангенса имеем:

$f'(x)=limlimits_{Delta xto 0}} dfrac{mathrm{tg}(x+Delta x)-mathrm{tg}x}{Delta x}$

Преобразуем разность тангенсов по формуле $mathrm{tg}alpha -mathrm{tg}beta =dfrac{sin(alpha-beta)}{cosalphacosbeta}$:

$f'(x)=limlimits_{Delta xto 0}} dfrac{sin(x+Delta x-x)}{Delta xcos(x+Delta x)cos x}=limlimits_{Delta xto 0}} dfrac{sinDelta x}{Delta xcos(x+Delta x)cos x}$

Рассмотрим предел произведения как произведение пределов:

$f'(x)=limlimits_{Delta xto 0}}dfrac{sinDelta x}{Delta x}cdot limlimits_{Delta xto 0}}dfrac{1}{cos(x+Delta x)cos x}$

Значение первого предела-сомножителя равно 1 (первый замечательный предел). Вычисляя второй предел-сомножитель, получим итоговый результат:

$f'(x)=1cdot dfrac{1}{cos(x+0)cos x}= dfrac{1}{cos xcos x}= dfrac{1}{cos^2 x}$

Таким образом:

$boxed{left(mathrm{tg}xright)'= dfrac{1}{cos^2 x}}$

Answer 2

спасибо большое

Answer 3

$y=tgx\\y'=limlimits _{Delta x to 0}frac{Delta y}{Delta x}=limlimits _{Gelta x to 0}frac{tg(x+Delta x)-tgx}{Delta x}=limlimits _{Delta x to 0}frac{sin(x+Delta x-x)}{cos(x+Delta x)cdot cosxcdot Delta x}=\\=limlimits _{Delta x to 0}frac{sinDelta x}{frac{1}{2}cdot (, cos(x+Delta x+x)+cos(x+Delta x-x), )cdot Delta x}=limlimits _{Delta x to 0}frac{2Delta x}{Delta xcdot (, cos(2x+Delta x)+cosDelta x, )}=\\=limlimits_{Delta x to 0}frac{2}{cos(2x+Delta x)+cosDelta x}=Big [, Delta xto 0, Big ]=frac{2}{cos2x+cos0}=frac{2}{cos2x+1}=\\=frac{2}{2cos^2x}=frac{1}{cos^2x}\\(tgx)'=frac{1}{cos^2x}$

Answer 4

спасибо большое