Question

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $z=x^{2} -2xy+2,5y^{2} -2x$ в области D: x=0,x=2,y=0,y=2. (Надо исследовать функцию на границах области и на угловых точках) Напишите подробное решение

Answer 1

$begin{cases}z'_x=2x-2y-2=0\z'_y=-2x+5y=0end{cases}\x=y+1\-2y-2+5y=0\3y=2\y=frac{2}{3} x=1frac{2}{3}$

Данная точка входит в область D, поэтому находим значение в точке.

$z=frac{25}{9}-frac{20}{9}+frac{10}{9}-frac{30}{9}=-frac{15}{9}$

Теперь проверяем границы.

$AB:\x=0;0leq yleq2\z=2,5y^2\z'=5y=0\y=0\z(0;0)=0 ;z(0;2)=10\BC:\y=2;0leq xleq2\z=x^2-6x+10\z'=2x-4=0\x=2\z(0;2)=10 ;z(2;2)=2\CD:\x=2;0leq yleq2\z=-4y+2,5y^2\z'=-4+5y=0\y=frac{4}{5}\z(2;0)=0 ;z(2;frac{4}{5})=-frac{8}{5} ;z(2;2)=2\AD:\y=0;0leq xleq2\z=x^2-2x\z'=2x-2=0\x=1\z(0;0)=0 ;z(1;0)=-1 ;z(2;0)=0\\z_{max}=10 (0;2)\z_{min}=-frac{15}{9} (frac{5}{3};frac{2}{3})$