Question

Вычислить определенный интеграл:
на фото пожалуйста

Answer 1

2) Ответ: $intlimits^ pi_{-pi} {sin^22x} , dx =pi$

Решение

При вычисление интеграла применяем формулу половинного угла

$sin^2(frac{x}{2} )=frac{1-cosx}{2}$

$intlimits^ pi_{-pi} {sin^22x} , dx =intlimits^ pi_{-pi} {frac{1-cos4x}{2} } , dx =frac{1}{2}intlimits^ pi_{-pi} {(1-cos4x)} , dx =frac{1}{2}(x-frac{1}{4}sin(4x))begin{vmatrix} pi \-pi end{vmatrix}=pi$

4) Ответ: $intlimits^frac{pi }{8}_0 {(cos^22x-sin^22x)} , dx=0,25$

Решение

При вычислении интеграла применяем тригонометрическую формулу двойного угла cos(2x) =cos²(x) - sin²(x)

$intlimits^frac{pi }{8}_0 {(cos^22x-sin^22x)} , dx=intlimits^frac{pi }{8}_0 {cos4x} , dx=frac{1}{4} sin4xbegin{vmatrix}frac{pi }{8} \0end{vmatrix}=frac{1}{4}sinfrac{pi }{2} -frac{1}{4}sin(0)=frac{1}{4}$