Question

Исходя из ОПРЕДЕЛЕНИЯ производной, найти производную функции:

Answer 1

Для решения потребуются следующее:

1) Определение числа е (числа Эйлера)

$limlimits_{n to infty} (1+frac{1}{n} )^n=e$

2) логарифмирование функций:

$f(x)=g(x) => log_af(x)=log_ag(x)$

3) свойства логарифмов:

$log_aa=1 \ \ kcdot log_ab=log_ab^k$

$frac{1}{log_ab} =log_ba$

$log_ea=ln a$

4) Свойства пределов для непрерывной функции:

$limlimits_{x to x_0}k cdot f(x)=k cdot limlimits_{x to x_0} f(x), k=const$

$limlimits_{x to x_0} frac{f(x)}{g(x)} =frac{ limlimits_{x to x_0}f(x)}{ limlimits_{x to x_0}g(x)} \ \ limlimits_{x to x_0} (log_af(x))=log_a( limlimits_{x to x_0}f(x))$

В нашем случае предел будем брать по Δх, значит всё что не содержит Δх будет являться константой!

(то есть для данного решения выражение 3 в степени (2x+1) будет константа, а значит в ходе решения будет выносится перед пределом!)

Решение:

$y=3^{2x+1} \ \ y'= limlimits_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x} =limlimits_{Delta x to 0} frac{y(x+Delta x)-y(x)}{Delta x}=limlimits_{Delta x to 0} frac{3^{2(x+Delta x)+1}-3^{2x+1} }{Delta x}=\ \ =limlimits_{Delta x to 0} frac{3^{2x+2Delta x+1}-3^{2x+1} }{Delta x}= limlimits_{Delta x to 0} frac{3^{2x+1}(3^{2Delta x}-1) }{Delta x}=3^{2x+1} cdot limlimits_{Delta x to 0} frac{3^{2Delta x}-1}{Delta x}$

Введем замену:

$3^{2Delta x}-1=t$

если Δх→0, значит 3²*⁰-1=1-1=0, то есть t→0

Выразим Δх:

$3^{2Delta x}-1=t\ 3^{2Delta x}=t+1 \ \ log_33^{2Delta x}=log_3(t+1) \ \ 2Delta x=log_3(t+1) \\ Delta x =frac{log_3(t+1)}{2}$

Подставляем данную замену в предел и продолжаем дальше считать:

$y'=3^{2x+1} cdot limlimits_{t to 0} frac{t}{frac{log_3(t+1)}{2}}= 3^{2x+1} cdot limlimits_{t to 0} frac{2t}{log_3(t+1)}= 2 cdot3^{2x+1} cdot limlimits_{t to 0} frac{t}{log_3(t+1)}$

Делаем еще одну замену:

$t=frac{1}{n} => n=frac{1}{t}\ \ n to frac{1}{0} \ \ nto infty\ \ y'=2 cdot3^{2x+1} cdot limlimits_{n to infty} frac{1}{nlog_3(frac{1}{n} +1)}=2 cdot3^{2x+1} cdot limlimits_{n to infty} frac{1}{log_3(frac{1}{n} +1)^n}=\ \ =2 cdot3^{2x+1} cdot frac{1}{limlimits_{n to infty}( log_3(1+frac{1}{n} )^n)}=2 cdot3^{2x+1} cdot frac{1}{log_3 (limlimits_{n to infty} (1+frac{1}{n} )^n)}=$

$=2 cdot3^{2x+1} cdot frac{1}{log_3 e}=2 cdot3^{2x+1} cdot ln3 \ \ OTBET: y'=2 cdot3^{2x+1} cdot ln3$