Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми

y=e^x,y=e^-x,x=1

Answer 1

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми.

Для решения задачи в первую очередь нужно построить график.

По графику видно, что найти нужно площадь области, лежащей над $bf y = e^{-x}$ и под $bf y = e^x$.

Найдём точку пересечения данных кривых. Для этого нужно решить систему из уравнений их функций.

$begin{cases}y = e^x,\y = e^{-x};end{cases}Longrightarrow; e^x = e^{-x}Longrightarrow; bf x = 0.$

По графику прямая $bf x = 0$ будет являться границей фигурой слева, а прямая $bf x = 1$ — справа.

Найти площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции $bf y = e^{x}$, а снизу функцией $bf y = e^{-x}$, а так же прямыми $bf x = 0$ и $bf x = 1$, значит вычислить следующий определённый интеграл.

$intlimits_0^1{left(e^x - e^{-x}right)}dx = intlimits_0^1{e^xdx - intlimits_0^1e^{-x}}dx = e^x|_0^1 - left(-e^{-x}right)|_0^1 = e - 1 - left(-dfrac{1}{e} - (-1)right) =\= e - 1 - left(-dfrac{1}{e} + 1right) = e - 1 + dfrac{1}{e} - 1 = e + dfrac{1}{e} - 2 approx 1,086.$

Ответ: $bf e + dfrac{1}{e} - 2 approx 1,086.$