Question

Доказать, что векторы a(3; −2; −5), b(−2; 1; 3), c(6; 0; −5) образуют базис. Разложить вектор d(−1; 3; 5) по этим векторам.

Answer 1

Покажем, что тройка векторов линейно независима.

Найдём определитель:

$begin{vmatrix} 3& -2 & -5 \ -2 & 1 & 3 \ 6 & 0 & -5 end{vmatrix} = 6 cdot begin{vmatrix} -2 & -5 \ 1 & 3end{vmatrix}- 5 cdot begin{vmatrix}3 & -2 \ -2 & 1end{vmatrix} = -1 ne 0$.

Вектор имеет следующее разложение:

$d = alpha a+ beta b + gamma c$.

Зная координаты векторов, составим систему линейных уравнений:

$begin{cases} 3alpha -2beta + 6gamma = -1 \ -2alpha + beta qquad= 3 \ -5alpha + 3beta - 5gamma = 5end{cases} Rightarrow begin{cases} 3alpha -6 - 4alpha + 6gamma = -1 \ beta = 3 + 2alpha \ -5alpha + 9 + 6alpha - 5gamma = 5end{cases} Rightarrowbegin{cases} gamma = 1 \ beta = 3 + 2alpha \ alpha = 5gamma - 4end{cases}$

Откуда решением является

$begin{cases} alpha = 1 \ beta = 5 \ gamma = 1end{cases}$.

Значит, координаты вектора в данном базисе: $boxed{(1; 5; 1)}$