Question

по какому свойству это произошло?
откуда x^3/3?

Answer 1

1) находим квадрат уравнения которого нам нужно найти интеграл
2) находим интеграл каждого слагаемого отдельно
интеграл от х в какой-то степени будет х в степени на 1 больше и делений на на полученую степень интеграл от х^а=[х^(а+1)]/(а+1)
интеграл от числа а= а•х
4/х^2 можно записать как 4•х^(-2)
когда в интеграле стоит число перед х мы выносим число за знак интеграла и ищем интеграл от х в степени -2 и умножаем число на полученый интеграл

Answer 2

разве это вопрос уже не задавали?

Answer 3

$int underbrace {(x+frac{2}{x})^2}_{(a+b)^2}, dx=int (x^2+2cdot xcdot frac{2}{x}+frac{4}{x^2}), dx=int (x^2+4+frac{4}{x^2}), dx=\\=int x^2, dx+int 4cdot dx+4cdot int x^{-2}, dx=frac{x^{2+1}}{2+1}+4cdot int dx+4cdot frac{x^{-2+1}}{-2+1}=\\=frac{x^3}{3}+4cdot x+4cdot frac{x^{-1}}{-1}+C=frac{x^3}{3}+4x-frac{4}{x}+C\\\star ; ; int x^{n}, dx=frac{x^{n+1}}{n+1}+C; ; star$