Question

Как решить это неравенство? (ЕГЭ, 15 вопрос)

(В объяснялке на оригинальном сайте не очень понятно)

Answer 1

Сначала нужно найти область допустимых значений - значения в знаменателе не могут быть равны нулю:

$begin{cases}3^x-1neq0\3^x-9neq0end{cases}Rightarrowbegin{cases}3^xneq1\3^xneq9end{cases}Rightarrowbegin{cases}3^xneq3^0\3^xneq3^2end{cases}Rightarrowbegin{cases}xneq0\xneq2end{cases}$

Затем  необходимо привести все степенные члены к одному основанию и подставить их в неравенство:

$9^{x+frac12}=left(3^2right)^{x+frac12}=3^{2cdot(x+frac12)}=3^{2x+1}=3^{2x}cdot3^1=3cdot3^{2x}\3^{x+3}=3^xcdot3^3=27cdot3^x\3^{x+1}=3^xcdot3^1=3cdot3^x\\frac1{3^x-1}+frac{3cdot3^2x-27cdot3^x+3}{3^x-9}geq3cdot3^x$

Затем нужно произвести замену переменной (для удобства, делать это необязательно) и упростить уравнение:

$3^x=t,;;;3^{2x}=t^2,;;;t>0\\frac1{t-1}+frac{3t^2-27t+3}{t-9}geq3t\frac{(t-9)+(t-1)(3t^2-27t+3)}{(t-1)(t-9)}geq3t\frac{t-9+3t^3-30t^2+30t-3}{t^2-10t+9}geq3t\3t^3-30t^2+31t-12geq3t^3-30t^2+27t\4tgeq12\tgeq3$

Теперь производится обратная замена переменной, определятся значение x и записывается ответ с учётом ОДЗ:

$3^xgeq3\xgeq1,;xneq0,;xneq2\OTBET:;;xin[1;2)cup(2;+infty)$