Question

Числа a , b , c , d удовлетворяют равенству 13 ⋅ √ a − 13 2 + 27 ⋅ √ b − 27 2 + 40 ⋅ √ c − 40 2 + 31 ⋅ √ d − 31 2 = a + b + c + d 2 . Какое наибольшее значение может принимать разность двух из чисел a , b , c , d ?

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Столь необычное соотношение разрешается с помощью оценок (т. е. неравенств). Изучите это соотношение по частям, коих здесь ровно четыре: посмотрите на обе части этого соотношения как на суммы четырёх слагаемых; каждое слагаемое касается только своей неизвестной величины. Например, возьмите отдельно всё, что касается 'а', и изучите. Это ключ к решению, а оно окажется простым.

Answer 2

Полное условие на фотке.

$13cdot sqrt{a-13^2}+27cdot sqrt{b-27^2}+40cdot sqrt{c-40^2}+31cdot sqrt{d-31^2}=dfrac{a+b+c+d}{2}$

По неравенству Коши

$13sqrt{a-13^2}leq dfrac{13^2+a-13^2}{2}=dfrac{a}{2}\ \ 27sqrt{b-27^2}leq dfrac{27^2+b-27^2}{2}=dfrac{b}{2}\ \ 40sqrt{c-40^2}leqdfrac{40^2+c-40^2}{2}=dfrac{c}{2}\ \ 31sqrt{d-31^2}leqdfrac{31^2+d-31^2}{2}=dfrac{d}{2}$

Сложив эти четыре неравенства мы получим

$13sqrt{a-13^2}+27sqrt{b-27^2}+40sqrt{c-40^2}+31sqrt{d-31^2}leqdfrac{a+b+c+d}{2}$

Отсюда и из уравнения следует, что примененное неравенство превратилось в равенство. Среднее геометрическое не превышает среднее арифметическое и при этом равенство достигается при

$13^2=a-13^2~~~Rightarrow~~ boxed{a=338}\ \ 27^2=b-27^2~~~Rightarow~~~ boxed{b=1458}\ \ 40^2=c-40^2~~~Rightarow~~~ boxed{c=3200}\ \ 31^2=d-31^2~~~Rightarow~~~ boxed{d=1922}$

Максимальная разность: 3200 - 338 = 2862