Из некоторого натурального числа вычли сумму его цифр. Сколько чисел от 1 до 2019 могло получиться? Прошу поскорее! Будьте классными человеками!
Ответы
Ответ:
первым могло быть число 108.
Пошаговое объяснение:
Раз речь идёт о ряде вычитаний суммы цифр, то исходное число должно быть как минимум двузначным. Любое двузначное число можно представить в виде 10a + b, где a - количество десятков, b - количество единиц. Тогда уравнение 11-го вычитания можно записать так:
10a + b - (a + b) = 0
10a + b - a - b = 0
9a = 0
a = 0.
Т.е. получается, что 11-е вычитание происходило над числом, количество десятков которого было равно нулю, а количество единиц (b) - любое. Т.е. число это - однозначное, от 0 до 9.
Коэффициент 9 рядом с a получился неспроста. Закономерность такова, что при вычитании из любого двузначного числа суммы его цифр в результате получится число, кратное девяти.
Значит, исходить будем из того, что 10-е вычитание дало девять. Тогда формула 10-го вычитания будет такой:
10a + b - a - b = 9
9a = 9,
a = 1
Т.е., число 10-го вычитания - от 10 до 19.
Если это число от 11 до 17, либо 19, то следующее число мы найти не сможем (например, если 9a = 11, то a = 11/9).
Таким образом, получаем ряд чисел, кратных 9-ти:
(11) 9 - 9 = 0
(10) 18 - 1 - 8 = 9
(09) 27 - 2 - 7 = 18
(08) 36 - 3 - 6 = 27
(07) 45 - 4 - 5 = 36
(06) 54 - 5 - 4 = 45
(05) 63 - 6 - 3 = 54
(04) 72 - 7 - 2 = 63
(03) 81 - 8 - 1 = 72
(02) 99 - 9 - 9 = 81
(01) 108 - 1 - 8 = 99
В общем случае натуральное число можно записать в следующем виде (опуская старшие нули) :
где цифры k, m, n, p могут принимать любые значения от 0 до 9, но не могут быть одновременно равны нулю.
Из числа вычли сумму его цифр.
Получилась последовательность чисел, кратных 9, в которой первое число равно нулю (для однозначных натуральных чисел) и отсутствуют каждое 111-е число, а из оставшихся - каждое 11-е (см. приложение).
Ответ : 202 числа.
