Question

решите №22 пожалуйста

Answer 1

Дано: A(-5, 1), B(8,-2), C(1, 4)

а) Запишем уравнение стороны AB в каноническом виде

$dfrac{x-x_1}{x_2 - x_1} = dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}$

В нашем случае x₁, y₁ - координаты точки A и x₂,y₂ - координаты точки B

$frac{x+5}{8 -(-5)} = frac{y-1}{-2 - 1}\\frac{x+5}{13} = frac{y-1}{-3}$

- каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A(-5,1) и B(8, -2)

Можем написать это же уравнение только уже в общем виде, перемножив члены по свойству пропорций:

$-3times (x+5) = 13times(y-1)\\-3x - 15 = 13y - 13\\-3x - 13y - 2 = 0\\3x + 13y + 2 = 0$

б)

Точка H принадлежит прямой AB, следовательно задача сводится к тому, чтобы найти уравнение прямой, которая проходит через точку C перпендикулярно AB

Перепишем уравнение прямой AB: 3x + 13y + 2 = 0

Коэффициенты при x и y представляют собой соответствующие координаты нормального вектора этой прямой.

$overline n = {3, 13}$

Данный вектор ортогонален AB следовательно, он является направляющим вектором для искомой прямой.

Прямая проходит через точку C(1, 4).

Зная координаты направляющего вектора и точку, через которую проходит прямая, мы можем записать уравнение искомой прямой в каноническом виде

$dfrac{x-1}{3}=dfrac{y-4}{13}$

в)

точка M - середина BC.

Следовательно координаты точки M равны:

$x_M = dfrac{8+1}{2}=dfrac{9}{2}\\y_M = dfrac{-2+4}{2}=1\\M(frac{9}{2}, 1)$

Запишем уравнение медианы AM:

$A(-5,1), ;;M(frac{9}{2}, 1)\\dfrac{x+5}{frac{9}{2}+5}=dfrac{y-1}{0}\\\ dfrac{2x+10}{19}=dfrac{y-1}{0}\\(2x+10)times0 = 19times (y-1)\\19y - 19 = 0\\y = 1$

г)

Для того, чтобы найти точку пересечения, составим систему из двух уравнений: уравнения медианы AM и высоты CH

$left {begin{array}{lcl} {{frac{x-1}{3}=frac{y-4}{13}} \ {y=1}} end{array}right. \\\left {begin{array}{lcl} {{13x-13=3(1-4)} \ {y=1}} end{array} right. \\\left {begin{array}{lcl} {{13x=4} \ {y=1}} end{array} right.\\\ left {begin{array}{lcl} {{x=frac{4}{13}} \ {y=1}} end{array} right.$

Точка пересечения медианы AM и высоты CH: (4/13, 1)

д)

Так как прямая параллельна AB их нормальные векторы будут пропорциональны.  

И так как прямая проходит через точку C(1, 4) конечное уравнение примет вид:

3(x - 1) + 13(y - 4) = 0

3x - 3 + 13y - 52 = 0

3x + 13y - 55 = 0 - искомое уравнение

е)

Расстояние от точки C до прямой AB равно длине перпендикуляра, опущенного из вершины C на прямую AB. Этот перпендикуляр есть ни что иное, как высота CH.

Найдём точку H как пересечение высоты CH и прямой AB

$left {begin{array}{lcl} {{frac{x-1}{3}=frac{y-4}{13}} \ {3x+13y+2=0}}end{array} right. \\\left {begin{array}{lcl} {{13x-13 = 3y-12} \ {3x+13y+2=0}}end{array} right.\\\left {begin{array}{lcl} {{13x-3y-1 = 0} \ {3x+13y+2=0}}end{array} right.$

Решив данную систему находим координаты пересечения: $H(frac{7}{178}, -frac{29}{178})$

Теперь найдём вектор HC:

$overline Hoverline C= {frac{171}{178}, 4frac{29}{178}}$

Искомое расстояние равно длине данного вектора:

$|overline Hoverline C| = sqrt{(frac{171}{178})^2+(4frac{29}{178})^2}=frac{1}{2}sqrt{frac{6498}{89}}$