Question

Почему в данном случае обе части уравнения нельзя делить на cosx?
2cosxsinx=$sqrt{2}$cosx

Answer 1

$2cosxcdot sinx=sqrt2cdot cosx$

Если уравнение делить на cosx, то надо оговориться, что  $cosxne 0$ , так как на 0 делить нельзя. В силу этого можно потерять корни уравнения, при которых cosx обращается в 0, это  $x=frac{pi}{2}+pi n,; nin Z$ . Тогда надо отдельно проверить, не являются ли  $x=frac{pi}{2}+pi n,; nin Z$  корнями заданного уравнения, подставив их в это уравнение.

$2cosxcdot sinx=sqrt2cdot cosx; |:cosxne 0; to ; xne frac{pi }{2}+pi n,; nin Z\\2sinx=sqrt2; ; to ; ; sinx=frac{sqrt2}{2}; ,; ; x=(-1)^{n}cdot frac{pi}{4}+pi k,; kin Z\\x=frac{pi}{2}+pi n:; ; 2cos(frac{pi}{2}+pi n)cdot sin(frac{pi}{2}+pi n)=sqrt2cdot cos(frac{pi}{2}+pi n); ,\\2cdot 0cdot (pm 1)=sqrt2cdot 0; ,\\0=0$

Так как получили верное равенство, то  $x=frac{pi}{2}+pi n$  являются корнями заданного уравнения.

$P.S.; ; ; ; sin(frac{pi}{2}+pi n)=left [ {{sin(frac{pi}{2}+2pi n)=+1; ,} atop {sin(frac{3pi}{2}+2pi n)=-1; .}} right.$

Чтобы не проводить лишнюю проверку , при решении уравнения надо просто вынести общий множитель cosx за скобку, тогда сразу получим две серии решений:

$2, cosxcdot sinx-sqrt2cdot cosx=0\\cosxcdot (2, sinx-sqrt2)=0; ; Rightarrrow \\cosx=0quad iliquad ; ; 2, sinx-sqrt2=0\\x=frac{pi }{2}+pi n; ,; nin Zquad iliquad sinx=frac{sqrt2}{2}; ,; ; x=(-1)^{k}cdot frac{pi}{4}+pi k; ,; kin Z\\Otvet:; ; x=frac{pi }{2}+pi n; ,; ; x=(-1)^{k}cdot frac{pi}{4}+pi k; ,; ; n,kin Z; .$