Question

Вычислить неопределенный интеграл и проверить результат дифференцированием

Answer 1

$2); ; int frac{sqrt[4]{x}+1}{(sqrt{x}+4)cdot sqrt[4]{x^3}}, dx=Big [; x=t^4; ,; dx=4t^3, dt; ,; sqrt[4]{x}=t; ,\\sqrt[4]{x^3}=t^3; ,; sqrt{x}=t^2; Big ]=int frac{(t+1)cdot 4t^3, dt}{(t^2+4)cdot t^3}=4int frac{(t+1)dt}{t^2+4}=\\=2int frac{2t, dt}{t^2+4}+4int frac{dt}{t^2+4}=2int frac{d(t^2+4)}{t^2+4}+4cdot frac{1}{2}, arctgfrac{t}{2}=\\=2, ln(t^2+4)+2, arctgfrac{t}{2}+C=2cdot ln(sqrt{x}+4)+2, arctgfrac{sqrt[4]{x}}{2}+C$

$Proverka:\\Big (2cdot ln(sqrt{x}+4)+2, arctgfrac{sqrt[4]{x}}{2}+CBig )'=\\=frac{2}{sqrt{x}+4}cdot frac{1}{2sqrt{x}}+2cdot frac{1}{1+frac{sqrt{x}}{4}}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{4}cdot x^{-frac{3}{4}}=frac{1}{sqrt{x}(sqrt{x}+4)}+frac{4}{sqrt{x}+4}cdot frac{1}{4sqrt[4]{x^3}}=\\=frac{sqrt[4]{x}+1}{(sqrt{x}+4)cdot sqrt[4]{x^3}}$