Question

Помогите! Как решить определённый интеграл?
Я не могу, формул таких нету, как подгонять?

Answer 1

$1); intlimits^{2pi }_{pi }, frac{x+cosx}{x^2+2sinx}, dx=Big [; t=x^2+2sinx; ,; dt=(2x+2cosx)dx=2(x+cosx)dx; Big ]=\\=frac{1}{2}intlimits^{2pi }_{pi }, frac{d(x^2+2cosx)}{x^2+2sinx}, dx=frac{1}{2}cdot ln|x^2+2sinx|Big |_{pi }^{2pi }=frac{1}{2}cdot (ln4pi ^2-lnpi ^2)=\\=frac{1}{2}cdot (2ln2pi -2lnpi )=ln2\\2); ; intlimits^{e}_1, frac{sin(lnx)}{x}dx=Big [; t=lnx; ,; dt=frac{dx}{x}; ]=intlimits^1_0, sintcdot dt=-costBig |_0^1=\\=-(cos1-cos0)=1-cos1$

$3); ; intlimits^1_0, frac{x, dx}{sqrt{x^4+x^2+1}}=intlimits^1_0, frac{x, dx}{sqrt{(x^2+frac{1}{2})^2+frac{3}{4}}}=Big [; t=x^2+frac{1}{2}; ,; dt=2x, dx; Big ]=\\=frac{1}{2}intlimits^{3/2}_{1/2}, frac{dt}{sqrt{t^2+frac{3}{4}}} dx=frac{1}{2}cdot lnBig |t+sqrt{t^2+frac{3}{4}}, Big |Big |_{1/2}^{3/2}=frac{1}{2}cdot(lnfrac{3+2sqrt3}{2}-lnfrac{3}{2})=\\=frac{1}{2}cdot (ln(frac{3}{2}+sqrt3)-lnfrac{3}{2})=frac{1}{2}cdot ln(1+frac{2sqrt3}{3})$

$4); ; intlimits^{frac{pi}{3}}_0, tgxcdot ln(cosx), dx=intlimits_0^{frac{pi}{3}}, frac{ln(cosx)cdot sinx}{cosx}, dx=[; u=cosx; ,; du=-sinx. dx; ]=\\=-intlimits^{frac{1}{2}}_1, frac{lnu}{u}, du=-intlimits^{frac{1}{2}}_{1}, lnucdot d(lnu)=-frac{ln^2u}{2}Big |_1^{frac{1}{2}}=-frac{1}{2}cdot (ln^2frac{1}{2}-ln^21)=\\=-frac{1}{2}cdot (ln2^{-1})^2=-frac{1}{2}cdot (-ln2)^2=-frac{ln^22}{2}$