Question

Решите номер 5 .Есть вложение. 25 б . С исследованием пожалуйста.

Answer 1

$y=frac{x}{ln{x}}$

1. Область определения: На ноль делить нельзя --> $ln{xneq }0=>xneq 1$ и х не отрицательный т.к. х под натуральным логарифмом. Итоге: x∈[0;1)∪(1;+∞)

2. Функция общего вида т.к. f(-x)≠±f(x)

3. Точки пересечения с осями:

$frac{x}{ln{x}}=0 \left { {{x=0} atop {ln{x}neq 0=>xneq }1} right. \(0;0)\frac{0}{ln{0}} =0$ Только одна точка (0;0)

4. Исследование с 1ой производной:

$y'=frac{1*ln{x}-x*frac{1}{x} }{ln^2{x}} =frac{ln{x}-1}{ln^2{x}}$

см. внизу.

$y(e)=frac{e}{ln{e}} =e$

5. Исследование со 2ой производной:

$y'=frac{ln{x}-1}{ln^2{x}}\y''=frac{frac{ln^2{x}}{x} -2ln{x}*frac{1}{x}*(ln{x}-1)}{ln^4{x}} =\frac{ln{x}-2ln{x}+2}{x*ln^3{x}}=\frac{-(ln{x}-2)}{xln^3{x}}$

см. внизу.

$y(e^2)=frac{e^2}{ln{e^2}}= frac{e^2}{2}$

6. Асимптоты:

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты: $lim_{xtoinfty}{(kx+b-f(x))}$

Находим коэффициент k: $k=lim_{xtoinfty}{frac{f(x)}{x}}\k=lim_{xtoinfty}{frac{frac{x}{ln(x)}}{x}}=lim_{xtoinfty}{frac{1}{ln(x)}}=0$

Находим коэффициент b: $b=lim_{xtoinfty}{f(x)-k*x}\b=lim_{xtoinfty}{frac{x}{ln(x)}-0*x}=lim_{xtoinfty}{frac{x}{ln(x)}}=infty$

Предел равен ∞, следовательно, наклонные асимптоты функции отсутствуют.

Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва: $x=1$

Находим переделы в точке 1: $lim_{xto1-0}{frac{x}{ln(x)}}=-infty\lim_{xto1+0}{frac{x}{ln(x)}}=infty$

Значит точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой.

Answer 2

Спасибо большое, помогите пожалуйста с этим заданием 25 б https://znanija.com/task/32014605