Question

Треугольник ABC со стороной BC=a и площадью S вращается вокруг прямой BC. Докажите, что V=$frac{4}{3}$π$frac{S^{2} }{a}$

Answer 1

Искомая фигура вращения будет являться объединением двух конусов с общим основанием (радиус основания будет равен высоте, опущенной на BC); Пусть высота разделяет основание BC на два отрезка длиной k и l;

Высота: $h=frac{2S}{a}$;

Площадь основания конуса: $A=pi frac{4S^{2}}{a^{2}}$;

Объем: $V=frac{1}{3}Ak+frac{1}{3}Al=frac{1}{3}Aa=frac{1}{3} pi frac{4S^{2}}{a^{2}}a=frac{4}{3}pi frac{S^{2}}{a}$, что и требовалось