Question

Найти общее решение дифференциального уравнения
$x^2y'-y^2=x^2$

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Данное диф. уравнение однородное. Пусть y = ux, тогда

y' = u'x + u

$x^2(u'x+u)-u^2x^2=x^2\ \ u'x+u-u^2=1\ \ u'x=u^2-u+1\ \ dfrac{du}{u^2-u+1}=dfrac{dx}{x}~~~Longleftrightarrow~~~~displaystyle int dfrac{du}{(u-frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2}=intdfrac{dx}{x}\ \ \ dfrac{2}{sqrt{3}}{rm arctg}, left(dfrac{2u-1}{sqrt{3}}right)=ln |x|+C$

Обратная замена: u = y/x

$dfrac{2}{sqrt{3}}{rm arctg}, left(dfrac{2y-x}{xsqrt{3}}right)=ln |x|+C\ \ y=dfrac{xsqrt{3}}{2}{rm tg},left(dfrac{sqrt{3}}{2}left(ln |x|+Cright)right)+dfrac{x}{2}$