Question

Найти общее решение дифференциального уравнения
$(x^2+2x+1)y'-(x+1)y=x-1$

Answer 1

Ответ: y = -x/(x+1) + C(x+1)

Пошаговое объяснение:

$(x+1)^2y'-(x+1)y=x-1~~|:(x+1)\ \ y'-dfrac{y}{x+1}=dfrac{x-1}{(x+1)^2}$

Домножим левую и правую части уравнения на $dfrac{1}{x+1}$, имеем:

$dfrac{1}{x+1}cdotdfrac{dy}{dx}-dfrac{y}{(x+1)^2}=dfrac{x-1}{(x+1)^3}\ \ dfrac{1}{x+1}cdot dfrac{dy}{dx}+dfrac{d}{dx}left(dfrac{1}{x+1}right)cdot y=dfrac{x-1}{(x+1)^3}\ \ dfrac{d}{dx}left(dfrac{y}{x+1}right)=dfrac{x-1}{(x+1)^3}\ \ displaystyle int dfrac{d}{dx}left(dfrac{y}{x+1}right)dx=intdfrac{x-1}{(x+1)^3}dx\ \ dfrac{y}{x+1}=-dfrac{x}{(x+1)^2}+C\ \ y=-dfrac{x}{x+1}+C(x+1)$