Question

80 баллов. Помогите решить задачу по геометрии, третьего уровня 11 класс.
Вершины квадрата, площадь которого равна 36см^2, лежат на окружностях оснований цилиндра. Угол между плоскостями квадрата и основания цилиндра равен 60°. Вычислите объем цилиндра.

Я вроде нашел высоту цилиндра, 3√3, но как найти объем дальше не знаю.

Answer 1

Высоту ты нашел правильно. Осталось найти площадь основания - как следствие, радиус окружности. Спроецируем верхнюю сторону квадрата на нижнее основание. Соединим полученные точки - получится прямоугольник (см. рис.). Так как угол равен 60 градусов, то прилежащий катет равен половине гипотенузы, которая в свою очередь равна стороне квадрата, то есть 6-ти см. Теперь будем работать с рисунком. Найдем синус угла фи. Гипотенуза равна $sqrt{9+36}=sqrt{45}=3sqrt{5}$; Синус равен $sin varphi = frac{6}{3sqrt{5}}= frac{2sqrt{5}}{5}$; Отсюда уже легко найти радиус:

$2Rsinvarphi = 6 Leftrightarrow R=frac{3}{sinvarphi}=frac{3sqrt{5}}{2}$. Объем: $V=pi R^{2}h=pitimes frac{9times 5}{4}times 3sqrt{3} = frac{135pisqrt{3}}{4}$