Question

Решите наравенство
$2^{frac{1-x}{x} } textless 2^{frac{1-2x}{2x} } +1$

Answer 1

$2^{frac{1}{x}-1}<2^{frac{1}{2x}-1}+1; 2^{frac{1}{x}}<2^{frac{1}{2x}}+2; 2^{frac{1}{2x}}=t>0; t^2<t+2; t^2-t-2<0;$

$(t-2)(t+1)<0; t=2^{frac{1}{2x}}in(-1;2); 2^{frac{1}{2x}}<2^1; frac{1}{2x}<1; frac{1}{2x}-1<0;$

$frac{1-2x}{2x}<0; frac{2x-1}{x}>0.$

Ответ: $(-infty;0)cup (frac{1}{2};+infty)$

Answer 2

Забавно, что ответ получился таким же))

Answer 3

Если хотите, могу удалить задание с неправильным условием

Answer 4

Да,удалите.

Answer 5

2¹/ˣ⁻¹<2¹/²ˣ⁻¹+1;  2⁻¹=1/2, умножим обе части неравенства на 2

2¹/ˣ-2¹/²ˣ-2<0

Пусть у=2¹/²ˣ, где у >0. тогда у²-у-2<0, По теореме, обратной теореме Виета, корни левой части уравнения у₁=-2; у₂=1, и  

(y-2)(y+1)<0; решив это неравенство методом интервалов, разбив на интервалы числовую ось (∞;-1 );(-1;2);(2;+∞) установим знаки на этих интервалах, имеем у∈(-1;2), да еще учитав, что у>0, получим 0<2¹/ˣ<2  так как основание два больше единицы, то     1/(2х)<2

(1-2х)/2х<0, опять обратимся к методу интервалов, разобьем числовую ось на  интервалы (-∞;0); (0;0.5);(0.5;+∞) установим, что левая часть отрицательна при

х∈(-∞; 0)∪ (0.5;+∞)