Question

Помогите! 50 баллов
Решите неравенства
1.$2^{x^{2} -6x+0,5}leq (16sqrt{2} )^{-1}$
2.$frac{7}{9^{x}-2 } geq frac{2}{3^{x} -1}$

Answer 1

$1) 2^{x^{2} - 6x + 0,5} leqslant (16sqrt{2} )^{-1}\2^{x^{2} - 6x + 0,5} leqslant (2^{4,5})^{-1}\2^{x^{2} - 6x + 0,5} leqslant 2^{-4,5}\x^{2} - 6x + 0,5leqslant -4,5\x^{x} - 6x + 5 leqslant 0\x^{x} - 6x + 5 = 0\x_{1} = 1; x_{2} = 5\x in [1; 5]$

Ответ: $x in [1; 5]$

$2) dfrac{7}{9^{x} - 2} geqslant dfrac{2}{3^{x} - 1}$

ОДЗ: $left { {bigg{9^{x} - 2 neq 0} atop bigg{3^{x} - 1 neq 0}} right. left { {bigg{9^{x} neq 2} atop bigg{3^{x} neq 1}} right. left { {bigg{x neq log_{9}2} atop bigg{x neq 0 }} right.$

$dfrac{7}{3^{2x} - 2} geqslant dfrac{2}{3^{x} - 1}$

Замена: $3^{x} = t, t > 0$

$dfrac{7}{t^{2} - 2} geqslant dfrac{2}{t - 1}\dfrac{7}{t^{2} - 2} - dfrac{2}{t - 1} geqslant 0$

$dfrac{7(t-1) - 2(t^{2} - 2)}{(t^{2} - 2)(t-1)} geqslant 0\\\dfrac{7t - 3 - 2t^{2}}{(t^{2} - 2)(t-1)} geqslant 0$

ОДЗ: $left { {bigg{t^{2} - 2 neq 0} atop bigg{t - 1 neq 0 }} right. left { {bigg{t neq pm sqrt{2} } atop bigg{t neq 1 }} right.$

$7t - 3 - 2t^{2} = 0\2t^{2} - 7t + 3 = 0\D = (-7)^{2} - 4 cdot 2 cdot 3 = 49 - 24 = 25\t_{1} = dfrac{1}{2}\\t_{2} = 3$

По методу интервалов выясняем знаки неравенства и получаем:

$left[begin{array}{ccc}t < -sqrt{2}\left { {bigg{t geqslant dfrac{1}{2} } atop bigg{t < 1}} right. \left { {bigg{t > sqrt{2}} atop bigg{t leqslant 3}} right.end{array}right$

Обратная замена:

$left[begin{array}{ccc}3^{x} < -sqrt{2}\left { {bigg{3^{x} geqslant dfrac{1}{2} } atop bigg{3^{x} < 1}} right. \left { {bigg{3^{x} > sqrt{2}} atop bigg{3^{x} leqslant 3}} right.end{array}right left[begin{array}{ccc}x in O \left { {bigg{x geqslant log_{3}dfrac{1}{2} } atop bigg{x < 0 }} right. \left { {bigg{x > log_{3}sqrt{2}} atop bigg{x leqslant 1 }} right.end{array}right$

$left[begin{array}{ccc}x in O \x in bigg[log_{3}dfrac{1}{2}; 0 bigg) \x in (log_{3}sqrt{2}; 1] end{array}right$

Объединяем все три условия и получаем:

$x in bigg[log_{3}dfrac{1}{2}; 0 bigg) cup (log_{3}sqrt{2}; 1]$

Ответ: $x in bigg[log_{3}dfrac{1}{2}; 0 bigg) cup (log_{3}sqrt{2}; 1]$