Question

Помогите, пожалуйста!

Answer 1

1. $f_n(x)=sinfrac{x}{n}.$

Сходимость этой последовательности к нулевой функции на всей числовой прямой очевидна: при фиксированном x

$limlimits_{nto infty}sinfrac{x}{n}=0$.

О равномерной сходимости на всей прямой говорить не приходится, так как если $epsilonin (0;1),$ то для любого n можно подобрать  $x_n$ таким образом, чтобы$|f_n(x_n)|>epsilon.$  

Например, годится $x_n=frac{pi n}{2}$ - в этом случае $|f_n(x_n)|=|sinfrac{pi}{2}|=1>epsilon.$

Замечание. А вот на любом конечном промежутке эта последовательность сходится равномерно, но нас об этом не спрашивают.

2. $sumlimits_{n=1}^{infty}frac{1}{x^4+n^5}.$ Этот ряд сходится равномерно, так как $|u_n|=left|frac{1}{x^4+n^5}right|lefrac{1}{n^5}=c_n.$ Положительный числовой ряд $sum c_n$ сходится как обобщенный гармонический ряд с показателем 5>1, а исходный функциональный ряд сходится равномерно по признаку Вейерштрасса.