Question

49 баллов, решите, пожалуйста, очень срочно

Answer 1

$frac{1}{n}=0,(ab),$ где $anot= b$ - цифры.

$0,(ab)=0,ab+0,abcdot 0,01+0,abcdot (0,01)^2+ldots -$ бесконечная убывающая геометрическая прогрессия. Ее сумма вычисляется по формуле "первый член, деленный на (один минус знаменатель этой прогрессии)". Поэтому

$frac{0,ab}{1-0,01}=frac{1}{n}; frac{ab}{99}=frac{1}{n}; n(ab)=99.$

Здесь под ab нужно понимать не произведение чисел a и b, а двузначное число, равное 10a+b. Иногда в этом случае над ab рисуют палочку.

Рассмотрим всевозможные разложения числа 99 в произведение двух натуральных чисел:

$99=1cdot 99=3cdot 33= 9cdot 11=11cdot 9=33cdot 3=99cdot 1.$

1) n=1; ab=99  - это нас не устраивает, так как в этом случае минимальный период равнялся бы 1 (кстати, мы об этом уже подумали в самом начале, когда потребовали, чтобы a не равнялась b.

2) n=3; ab=33  - не годится по той же причине.

3) n=9; ab = 11 - то же самое.

4) n=11; ab=9, то есть a=0, b=9 - все критерии соблюдены. Итак, нашли одно решение: n=11.

5) n=33; ab=3, то есть a=0, b=3. Найдено второе решение n=33.

6) n=99; ab=1, то есть  a=0, b=1. Найдено третье решение n=99.

Ответ: 11; 33; 99