Question

Найдите все значения параметра p из множества простых чисел,чтобы уравнение $6x^2-12x+3=p(x-2)$ имело хотя бы один целый корень и докажите,что для любых других значения параметра p это условие будет неверно.

P.S методом отбора нахожу,но не могу доказать,что кроме них других не существует

Answer 1

$6x^2-12x+3=p(x-2)\ 6x(x-2)-p(x-2)+3=0\ (x-2)(6x-p)+3=0\ \ 6x-p=-dfrac{3}{x-2}~~~~Rightarrow~~~p=dfrac{3}{x-2}+6x$

Уравнение имеет целый корень, если

$x-2=pm1~~~~Rightarrow~~~ x_1=3;~~~~ x_2=1\ x-2=pm 3~~~Rightarrow~~~~ x_3=5;~~~~x_4=-1$

Подставляя эти корни, получим

$p_1=dfrac{3}{3-2}+6cdot3=21$ — не простое

$p_2=dfrac{3}{1-2}+6cdot1=-3+6=3$ — простое

$p_3=dfrac{3}{5-2}+6cdot5=1+30=31$ — простое

$p_4=dfrac{3}{-1-2}+6cdot(-3)=-1-18=-19$ — не натуральное.

Для остальных x≠2 дробь $dfrac{3}{x-2}notin mathbb{Z}$

Ответ: при p=3; p=31.

Answer 2

Решение исправил

Answer 3

Молодец!)

Answer 4

Отлично.Четко и понятно!
Спасибо!