Question

Вычислите интеграл
$intlimits {tg^4x} , dx$
С подробным решением, пожалуйста

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Ответ: 1/3 * tg^3x - tgx + x + c

Пошаговое объяснение:

В решении используется следующее преобразование тангенса:

$tg^2x=frac{sin^2x}{cos^2x}=frac{1-cos^2x}{cos^2x}=frac{1}{cos^2x}-1$

Решение:

$intlimits {tg^4x} , dx =intlimits {tg^2xcdot tg^2x} , dx =intlimits {tg^2xcdot (frac{1}{cos^2x}-1)} , dx =intlimits {tg^2xcdot frac{1}{cos^2x}} , dx-intlimits {tg^2x} , dx$

1-й интеграл:

$intlimits {tg^2xcdot frac{1}{cos^2x}} , dx=left[begin{array}{ccc}t=tgx\dt=frac{dx}{cos^2x} end{array}right]=intlimits {t^2} , dt =frac{t^3}{3}+c=frac{1}{3}tg^3x+c$

2-й интеграл:

$intlimits {tg^2x} , dx=intlimits {(frac{1}{cos^2x}-1)} , dx=tgx-x+c$

Итого:

$intlimits {tg^2xcdot frac{1}{cos^2x}} , dx-intlimits {tg^2x} , dx=frac{1}{3}tg^3x-(tgx-x)+c=frac{1}{3}tg^3x-tgx+x+c$