Question

Исследовать сходимость ряда, пользуясь признаком сравнения :
1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2

Answer 1

$a_n=frac{1}{n^2}sim b_n=frac{1}{n(n+1)}=frac{1}{n}-frac{1}{n+1}.$

Ряд $sum b_n$ сходится, так как существует конечный предел его частичных сумм:

$S=limlimits_{nto infty}S_n=limlimits_{nto infty}(b_1+ldots + b_n)=limlimits_{nto infty}(frac{1}{1}-frac{1}{2}+frac{1}{2}-frac{1}{3}+ldots +frac{1}{n}-frac{1}{n+1})=$

$=limlimits_{nto infty}(1-frac{1}{n+1})=1.$

Поэтому ряд $sum a_n$ сходится по признаку сравнения в предельной форме.

Замечание. Можно было воспользоваться и другим признаком сравнения, воспользовавшись для любого $n>1$ неравенством

$a_n=frac{1}{n^2}<frac{1}{(n-1)n}.$