Question

Розв’язати нерівність : |(х+3)/(х-2)|≤2

Answer 1

$\bigg|\dfrac{x+3}{x-2}\bigg|\leq 2~~~\Rightarrow~~~ |x+3|\leq 2|x-2|$

Поскольку левая и правая части неравенства неотрицательны, то возведя обе части неравенства в квадрат, мы имеем:

$(x+3)^2\leq 4(x-2)^2\\ \\ (x+3)^2-4(x-2)^2\leq 0$

Далее воспользуемся формулой разности квадратов.

$(x+3-2x+4)(x+3+2x-4)\leq 0\\ \\ (7-x)(3x-1)\leq 0~~~~\Rightarrow~~~\left[\begin{array}{ccc}x\leq \dfrac{1}{3}\\ \\ x\geq 7\end{array}\right$

Ответ: x ∈ (-∞; 1/3] ∪ [ 7;+∞).