Question

Дано квадратное уравнение x^2-3x+1, корни которого a и b. Не решая квадратное уравнение, найдите (a^4*b+a*b^4)/(a^2+b^2)

Answer 1

Ответ:

$\frac{18}{7}$

Объяснение:

Попробуем упростить выражение:

$\frac{a^4b+ab^4}{a^2+b^2} = \frac{ab(a^3+b^3)}{a^2+b^2} =\\=\frac{ab(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^2+b^2}$

По теореме Виета мы знаем, что a + b = 3; ab = 1.

Подставляем в выражение:

$\frac{3(a^2-1+b^2)}{a^2+b^2} = 3 - \frac{3}{a^2+b^2} = 3 - \frac{3}{(a+b)^2 - 2ab} = 3 - \frac{3}{9 - 2} = 3 - \frac{3}{7} = \frac{18}{7}$

Answer 2

$\frac{ {a}^{4}b + a {b}^{4} }{ {a}^{2} + {b}^{2} } = \frac{ab( {a}^{3} + {b}^{3} )}{ {(a + b)}^{2} - 2ab } = \frac{ab(a + b)( {a}^{2} - ab + {b}^{2}) }{(a + b)^{2} - 2ab} = \frac{ab(a + b)(( {a + b)}^{2} - 3ab) }{(a + b)^{2} - 2ab}\\ \\ a + b = 3 \\ ab = 1 \\ \\ \frac{ab(a + b)(( {a + b)}^{2} - 3ab) }{(a + b)^{2} - 2ab} = \frac{1 \times 3 \times (9 - 3)}{9 - 2} = \frac{3 \times 6}{7} = \frac{18}{7}$