Question

Точка K лежит на стороне AB основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, все рёбра которой равны. Плоскость α проходит через точку K параллельно плоскости ASD. Сечение пирамиды плоскостью α— четырёхугольник, в который можно вписать окружность.
Найдите расстояние от вершины S до плоскости α, если все рёб-ра пирамиды равны 1

Answer 1

Сечение пирамиды плоскостью α— не просто четырёхугольник, в который можно вписать окружность, а равнобокая трапеция, у которой сумма оснований равна сумме боковых сторон.

Боковые грани заданной проекции - равносторонние треугольники.

Возьмём точку К на расстоянии х от вершины В.

Тогда в сечении боковые стороны равны х, верхнее основание равно (1 - х), нижнее равно 1.

Составим равенство: 1+(1 - х) = 2х.

Получаем 3х = 2, отсюда х = 2/3.

Расстояние АК = 1 - (2/3) = 1/3.

Найдём теперь синус угла наклона грани ASD к основанию.

Апофема равна 1*sin 60° = √3/2.

cos α = (1/2)/(√3/2) = √3/3.

sin α = (1 - (√3/3)²) = √(2/3).

Отсюда ответ: l = (1/3)*sin α = (1/3)*(√(2/3)) = √6/9.