Question

Решить систему
{2x^2+xy-y^2=0
{x^2-3xy+y^2=-1

Answer 1

Разложим на множители первое уравнение :

$2x^2+xy-y^2=0\\ 2x^2+2xy-xy-y^2=0\\ 2x(x+y)-y(x+y)=0\\ (x+y)(2x-y)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю

$\begin{cases}&\text{}\left[\begin{array}{ccc}x+y=0\\ \\ 2x-y=0\end{array}\right \\&\text{}x^2-3xy+y^2=-1\end{cases}~~~\Rightarrow~~~\begin{cases}&\text{}\left[\begin{array}{ccc}y=-x\\ \\ y=2x\end{array}\right\\&\text{}x^2-3xy+y^2=-1\end{cases}$

Подставим y = -x во второе уравнение, получим

$x^2-3x\cdot (-x)+(-x)^2=-1\\ \\ x^2+3x^2+x^2=-1\\ 5x^2=-1$

Это уравнение решений не имеет, т.к. левая часть уравнения всегда положительно, а правая - отрицательное число.

Аналогично, подставляя y =2x во второе уравнение, мы получим:

$x^2-3x\cdot (2x)+(2x)^2=-1\\ \\ x^2-6x^2+4x^2=1\\ x^2=1\\ \\ x=\pm1$

Если x = ± 1, то y = ±2

Окончательный ответ: $(-1;-2),~(1;2).$