Question

Запись девятизначного числа, делящегося на 37, разделили на две части и переставили
эти части друг с другом. Обязательно ли полученное девятизначное число будет делиться
на 37 ? (конечно, с пояснениями, а не один ответ).

Answer 1

Пусть наше число $\overline{a_8a_7a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0}=a_8*10^8+a_7*10^7+...+a_1*10+a_0\equiv (26(a_8+a_5+a_2)+10(a_7+a_4+a_1)+(a_6+a_3+a_0))\:(mod\:37)$

Тогда после перестановок могут получиться числа $\overline{a_0a_8a_7a_6a_5a_4a_3a_2a_1}\equiv (26(a_0+a_6+a_3)+10(a_8+a_5+a_2)+(a_7+a_4+a_1))\:(mod\:37)\\\overline{a_1a_0a_8a_7a_6a_5a_4a_3a_2}\equiv (26(a_1+a_7+a_4)+10(a_0+a_6+a_3)+(a_8+a_5+a_2))\:(mod\:37)\\\overline{a_2a_1a_0a_8a_7a_6a_5a_4a_3}\equiv (26(a_2+a_8+a_5)+10(a_1+a_7+a_4)+(a_0+a_6+a_3))\:(mod\:37)$

$\overline{a_3a_2a_1a_0a_8a_7a_6a_5a_4}\equiv (26(a_3+a_0+a_6)+10(a_2+a_8+a_5)+(a_1+a_7+a_4))\:(mod\:37)$

$\overline{a_4a_3a_2a_1a_0a_8a_7a_6a_5}\equiv (26(a_4+a_1+a_7)+10(a_3+a_0+a_6)+(a_2+a_8+a_5))\:(mod\:37)\\\overline{a_5a_4a_3a_2a_1a_0a_8a_7a_6}\equiv (26(a_5+a_2+a_8)+10(a_4+a_1+a_7)+(a_3+a_0+a_6))\:(mod\:37)\\\overline{a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0a_8a_7}\equiv (26(a_6+a_3+a_0)+10(a_5+a_2+a_8)+(a_4+a_1+a_7))\:(mod\:37)\\\overline{a_7a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0a_8}\equiv (26(a_7+a_4+a_1)+10(a_6+a_3+a_0)+(a_5+a_2+a_8))\:(mod\:37)$

Как можно заметить, каждое из этих чисел сравнимо по модулю 37 с одним из трех чисел: $(26(a_8+a_5+a_2)+10(a_7+a_4+a_1)+(a_6+a_3+a_0)),\:(26(a_0+a_6+a_3)+10(a_8+a_5+a_2)+(a_7+a_4+a_1)),\:(26(a_1+a_7+a_4)+10(a_0+a_6+a_3)+(a_8+a_5+a_2))$

Обозначим $a_2+a_5+a_8=Z,\:a_1+a_4+a_7 = X,\:a_0+a_3+a_6=Y$

Тогда, по условию, $26Z+10X+Y\equiv0\:(mod\:37)$

Заметим, что сумма этих трех возможных остатков равна $37(X+Y+Z)$, а значит кратна 37. Тогда, если $10Z+X+26Y\equiv K\:(mod\:37), 0\leq K<37$, то $Z+26X+10Y\equiv37-K(mod\:37)$

Значит $11Z+27X+36Y\equiv0(mod\:37)$

Тогда $11Z+27X+36Y+26(Z+26X+10Y)\equiv0+26(37-K)(mod\:37)\\ 37Z+(26^2+27)X+(36+260)Y\equiv 11K(mod\:37)\\ (37^2-2*37*11+121+27)X+259Y\equiv 11K(mod\:37)\\ 4*37X+7*37Y\equiv 11K(mod\:37)\\ 0\equiv 11K(mod\:37)$

А значит $K\equiv 0(mod\:37)$. Тогда, с учетом ограничений, $K=0$.

А значит все числа, получающиеся с помощью таких перестановок, кратны 37.

Ответ: Да