Question

Три числа, сумма которых равна 84,образуют геометрическую прогрессию. Они являются первым, шестым и шестнадтатыми членами арифметической прогрессии, разность которой отлична от нуля. Найдите наибольшее из этих чисел

Answer 1

Ответ:

48

Объяснение:

Формула n-го члена арифметической прогрессии (d-разность прогрессии):

$a_n=a_1+(n-1)d$

Формулы для геометрической прогрессии (q-знаменатель прогрессии; S-сумма):

$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_{n+1}}{b_n} \\ \\ S_n=b_1*\frac{1-q^n}{1-q}$

Решение:

$S_3=b_1+b_2+b_3=b_1*\frac{1-q^3}{1-q}=84 \\ \\ b_1=a_1 \\ b_2=a_6\\ b_3=a_{16}\\ \\a_6=a_1+5d \\ a_{16}=a_1+15d \\ \\ q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{a_6}{a_1} \\ \\ q=\frac{b_3}{b_2}= \frac{a_{16}}{a_6}$

$\frac{a_6}{a_1}=\frac{a_{16}}{a_6} \\ \\ a_6^2=a_1*a_{16} \\ \\ (a_1+5d)^2=a_1*(a_1+15d) \\ a_1^2+10a_1d+25d^2=a_1^2+15a_1d \\ 5a_1d=25d^2 \\ \\a_1=\frac{25d^2}{5d}\\ \\ a_1=5d\\ \\ q=\frac{a_6}{a_1}=\frac{a_1+5d}{a_1}=\frac{5d+5d}{5d}=\frac{10d}{5d}=2 \\ \\ b_1*\frac{1-2^3}{1-2}=84 \\ \\ b_1*7=84 \\ b_1=12 \\ b_2=b_1*q=12*2=24 \\ b_3=b_2*q=24*2=48$