Ответы
1) Если прямая задана пересечением двух плоскостей , то вектор
р|B1 C1| |C1 A1| |A1 B1|
|B2 C2|; C2 A2|; |A2 B2| является направляющим вектором данной прямой. Подставим данные: i = -3*-3 -2*5 = 9 - 10 = -1,
j = 2*2 +1*3 = 4 + 3 = 7, k = 1*5 + 3*2 = 5 + 6 = 11.
Найден направляющий вектор прямой l (-1; 7; 11).
Надо определить координаты любой точки на прямой l.
Примем координату у = 0, тогда уравнения прямой примут вид:
{x + 2z = 5.|x 2 2x + 4z = 10
{2x - 3z = -2, 2x - 3z = -2 вычтем из 1-го уравнения 2-е.
--------------------
7z = 12 z = 12/7.
х = 5 - 2z = 5 - (24/7) = (35 - 24)/7 = 11/7.
Определилась точка А((11/7); 0; (12/7)) на прямой l.
Теперь можно определить каноническое уравнение прямой l:
(x - (11/7))/-1 = y/7 = (z - (12/7))/11.
Если каждое из полученных уравнений разрешить относительно параметра t и после этого приравнять правые части равенств, то получим параметрические уравнения прямой в пространстве :
{x = -t + (11/7),
{y = 7t,
{z = 11t + (12/7).
2) У параллельной прямой l1 направляющий вектор равен тому же, что и у прямой l. Используем координаты точки М:
l1: (x - 1)/-1 = (y - 2)/7 = (z -3)/11.
3) Определяем вектор АМ: x = 1 - (11/7) = -4/7,
y = 2 - 0 = 2,
z = 3 - (12/7) = 9/7. AM((-4/7); 2; (9/7)).
Находим векторное произведение вектора АМ и направляющего вектора прямой l (-1; 7; 11).
AMxl = i j k i j 22i - (9/7)j - (28/7)k +
-4/7 2 9/7 -4/7 2 + (44/7)j - (63/7)i + 2k =
-1 7 11 -1 7 = (13; 5; -2)
Модуль |AMxl| = √(169 + 25 + 4) = √198. Расстояние между прямыми l и l1 равно: d(A; l1) = |AM, l|/|l| = √198/√171 = 3√(22/19) ≈ 1,076055.
4) Уравнение плоскости через точку М перпендикулярно l:
-1(x - 1) + 7(y - 2) + 11(z - 3) = -z + 1 - 7y - 14 + 11z - 33 = -x + 7y + 11z - 46 = 0.
Можно его записать так: x -7y - 11z = -46.
Чтобы найти точку пересечения, надо решить систему из трёх уравнений.
{x - 3y + 2z = 5,
{2x + 5y - 3z = -2,
{x -7y - 11z = -46. Получаем х = 80/57, y = 67/57, z = 203/57.
Это координаты проекции точки М на прямую l.
5) Аналогично находим точку пересечения прямой l и плоскости Р, решая систему из трёх уравнений.
Решение:
x = 37/21
y = −4/3
z = −8/21.