Ответы
1) Дано неравенство
Находим нули числителя и знаменателя.
5х² - 17х +12 = 0.
D=(-17)^2-4*5*12=289-4*5*12=289-20*12=289-240=49;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√49-(-17))/(2*5)=(7-(-17))/(2*5)=(7+17)/(2*5)=24/(2*5)=24/10=2.4;
x_2=(-√49-(-17))/(2*5)=(-7-(-17))/(2*5)=(-7+17)/(2*5)=10/(2*5)=10/10=1.
1 - 4х² = 0. х = +-√(1/4) = +-(1/2).
Применяем метод интервалов (+ это больше 0).
- + - + -
--------------- -1/2 --------------- 1/2 ----------- 1 ----------------- 2,4 -------------------
Ответ: x ∈ ((-1/2); (1/2)) ∪ (1; 2,4).
2) Дано уравнение
Возводим в квадрат обе части уравнения:
sin²x + 2sinx*cosx + cos²x = 1 - 2sin²x.
( sin²x + cos²x) + 2sinx*cosx = 1 - 2sin²x.
1 + 2sinx*cosx = 1 - 2sin²x, сократим на 1 и вынесем за скобки:
2sinx(cosx + sinx) = 0.
Приравниваем нулю множители: 2sinx = 0,
cosx + sinx = 0. Делим на косинус: tgx = -1.
Ответ: x = 2πk, k ∈ Z
x = (-π/4) + πk, k ∈ Z
3) Дано неравенство
Находим ОДЗ: x² - 3x - 10 > 0.
x² - 3x - 10 = 0. D = 9 + 1*4*10 = 49. x1 = (3 - 7)/2 = -2, x2 = (3 + 7)/2 = 5.
По свойству параболу положительные значения принадлежат интервалам (-∞; -2) и (5; +∞).
8 - x > 0, x < 8.
С учётом двух требований ОДЗ: (-∞; -2] и [5; 8).
Далее возводим в квадрат обе части неравенства..
x² - 3x - 10 < 64 - 16x + x². 13x < 74. x < 74/13.
С учётом ОДЗ получаем ответ: x ∈ (-∞; -2] ∪ [5; (74/13)).