Question

30. Найти значение выражения (1+корень 17)cos 2x0 , где хо — наимень-
ший положительный корень уравнения 2sin² x+cos 4x -2 = 0.​

Answer 1

$2\sin^2x+\cos 4x-2=0\\ \\ 2\cdot \dfrac{1-\cos 2x}{2}+2\cos^22x-1-2=0\\ \\ 2\cos^22x-\cos 2x-2=0$

Решаем как квадратное уравнение относительно cos2x

$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot (-2)=1+16=17$

$\cos 2x=\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}>1$ - уравнение решений не имеет.

$\cos 2x=\dfrac{1-\sqrt{17}}{4}$ откуда  $x=\pm\dfrac{1}{2}\arccos\dfrac{1-\sqrt{17}}{4}+\pi n,n \in \mathbb{Z}$

Наименьший положительный корень будет при n = 0 равны $\dfrac{1}{2}\arccos\dfrac{1-\sqrt{17}}{4}$

$(1+\sqrt{17})\cos 2x_0=(1+\sqrt{17})\cos \left(\arccos\dfrac{1-\sqrt{17}}{4}\right)=\\ \\ \\ =(1+\sqrt{17})\cdot \dfrac{1-\sqrt{17}}{4}=\dfrac{1^2-(\sqrt{17})^2}{4}=-\dfrac{16}{4}=-4$