Question

Диагонали трапеции перпендикулярны друг другу и равны соответсвенно 15 и 20.Найдите среднюю линию трапеции и ее высоту .

Answer 1

Из вершины С проведем прямую параллельную диагонали BD до пересечения на продолжении прямой AD. Четырехугольник BCFD является параллелограммом, DF = BC, тогда по свойству средней линии трапеции $m=\dfrac{AD+DF}{2}=\dfrac{AF}{2}$

Поскольку диагонали перпендикулярны друг другу, то ∠ACF = 90°, тогда по теореме Пифагора найдем AF

$AF=\sqrt{AC^2+CF^2}=\sqrt{15^2+20^2}=25$

Следовательно, $m=\dfrac{AF}{2}=\dfrac{25}{2}$ - средняя линия трапеции.

Площадь прямоугольного треугольника ACF равна $\dfrac{AC\cdot CF}{2}$ , с другой стороны она равна $\dfrac{CE\cdot AF}{2}$, приравнивая площади, мы получим

$\dfrac{AC\cdot CF}{2}=\dfrac{CE\cdot AF}{2}~~\Rightarrow~~~ CE=\dfrac{AC\cdot CF}{AF}=\dfrac{15\cdot 20}{25}=12$

Ответ: средняя линия трапеции равна 25/2, а высота - 12.