Question

(х+3)(3х-2)^5(7-х)^3(5х+8)^2<0

Answer 1

$(x+3)(3x-2)^5(7-x)^3(5x+8)^2<0$

В данном задание можно и нужно использовать метод интервалов. Для этого нужно найти нули функции $f(x)=(x+3)(3x-2)^5(7-x)^3(5x+8)^2$

Но есть одна хитрость в методе интервалов: если при разложении на множители коэффициент при каждой у переменной x будет равен 1 (именно единице, без минусов), то при переходе через нуль нечетной кратности (у скобки нечетная степень), знак изменится на противоположный, а при переходе через нуль четной кратности (у скобки четная степень) знак не поменяется. Более того, в самом правом промежутке, который связан с +∞, знак всегда положителен.

Приведем неравенство именно к такому виду:

$(x+3)*3^5*(x-\frac{2}{3} )^5*(-1)^3*(x-7)^3*5^2*(x+\frac{8}{5} )^2<0;\\ -(x+3)(x-\frac{2}{3})^5(x-7)^3(x+\frac{8}{5})^2<0;\\  (x+3)(x+\frac{8}{5})^2(x-\frac{2}{3})^5(x-7)^3>0;$

Здесь учитываем, что неравенство можно поделить на положительное число без изменения его знака, а вот на (-1) поделить уже с изменением знака. Итак, получаем 4 нуля нашей функции: $x=-3; x=-\frac{8}{5};x=\frac{2}{3};x=7.$

При этом, x=-8/5 - нуль четной кратности.

Промежутки будут выглядеть так:

-          +             +            -           +

   -3         -8/5        2/3          7

Учитывая, что неравенство строгое, выкалываем нули.

И получаем наш ответ x∈(-3; -8/5)∪(-8/5; 2/3)∪(7;+∞)

Ответ: $(-3;-\frac{8}{5})$∪$(-\frac{8}{5};\frac{2}{3})$∪$(7;+oo)$