Question

Среди 30 курсантов взвода 6 отличников. Для внеочередного дежурства назначено 5 курсантов. Найти вероятность того, что среди дежурных отличников будет Не более двух

Answer 1

Пусть случайная величина X - количество отличников.

Нужно найти вероятность того, что среди дежурных отличников будет не более двух, т.е. $P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

Вероятность того, что среди дежурных не будет отличников равна

$P(X=0)=\dfrac{C^5_{24}}{C^5_{30}}=\dfrac{\dfrac{24!}{5!(24-5)!}}{\dfrac{30!}{5!(30-5)!}}=\dfrac{\dfrac{24!}{19!}}{\dfrac{30!}{25!}}=\dfrac{20\cdot21\cdot22\cdot23\cdot24}{26\cdot27\cdot28\cdot29\cdot30}=\dfrac{1012}{3393}$

Вероятность того, что среди дежурных отличников будет 1, равна

$P(X=1)=\dfrac{C^1_6\cdot C^4_{24}}{C^5_{30}}=\dfrac{6\cdot \dfrac{24!}{4!(24-4)!}}{\dfrac{30!}{5!(30-5)!}}=\dfrac{6\cdot5\cdot21\cdot22\cdot23\cdot24}{26\cdot27\cdot28\cdot29\cdot30}=\dfrac{506}{1131}$

Вероятность того, что среди дежурных отличников будет 2, равна

$P(X=2)=\dfrac{C^2_6C^3_{24}}{C^5_{30}}=\dfrac{\dfrac{6!}{2!(6-2)!}\cdot\dfrac{24!}{(24-3)!3!}}{\dfrac{30!}{5!(30-5)!}}=\dfrac{5060}{23751}$

искомая вероятность:

$P(X\leq 2)=\dfrac{1012}{3393}+\dfrac{506}{1131}+\dfrac{5060}{23751}=\dfrac{2530}{2639}$