Question

Найти предел
$\lim_{x\to\infty}x^{\alpha}B(x,\alpha)$
если
$\alpha > 0$
​

Answer 1

Ответ:

$\Gamma(\alpha)$

Пошаговое объяснение:

Определение бета-функции:

$\displaystyle B(a,b)=\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt$

Подставляем:

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\int_0^1x^\alpha t^{x-1}(1-t)^{\alpha-1}\,dt=\dots$

Делаем замену $t=u^{1/x}$:

$\displaystyle\dots=\lim_{x\to\infty}\int_0^1x^\alpha u^{1-1/x}(1-u^{1/x})^{\alpha-1}\frac{u^{1/x}\,du}{ux}=\\=\lim_{x\to\infty}\int_0^1\left[x(1-u^{1/x})\right]^{\alpha-1}\,du=\int_0^1\left[\lim_{x\to\infty}\frac{1-u^{1/x}}{1/x}\right]^{a-1}du=\dots$

Посмотрим на предел поближе:

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1-u^{1/x}}{1/x}\right=\lim_{y\to+0}\frac{1-e^{y\ln u}}{y}=-\ln u$

Вносить предел под знак интегрирования было можно: легко проверить, что при убывании y функция под знаком предела монотонно стремится к предельной функции, которая непрерывна на (0, 1).

Осталось сделать замену $u=e^{-v}$ и получится определение гамма-функции:

$\displaystyle\dots=\int_0^1\left[-\ln u\right]^{a-1}du=\int_0^\infty v^{a-1}e^{-v}\,dv$